Большеметескинская средняя общеобразовательная школа Тюлячинского муниципального района РТ
Тема:
Учитель математики первой квалификационной категории
ЮНУСОВА РОЗАЛИЯ РАФКАТОВНА
Цели урока:
обучающая: ввести понятия арифметической и геометрической прогрессий; вывести формулы n-го члена, суммы первых n- членов арифметической и геометрической прогрессий, добиться усвоения учащимися полученных знаний при решении примеров, продолжить работу над повышением вычислительных навыков учащихся, показать взаимосвязь математики с другими предметами – история, химия;
развивающая: развивать логическое мышление и конструктивные навыки, сознательное восприятие учебного материала, зрительную память и грамотную математическую речь, навыки самоконтроля и самооценки;
воспитательная: воспитывать познавательную активность, чувство прекрасного, культуру речи и общения, аккуратность.
Оборудование: слайды, ноутбук, интерактивная доска, таблицы.
Тип урока:
урок изучения нового материала.
Методы:
информационно – иллюстративный; проблемный диалог; тестовая работа; элементы информационных технологий.
Литература:
В.А.Далингер “Методика реализации внутри предметных
связей при обучении математике”.
2) М.И.Сканави «Сборник задач по математике».
3) Энциклопедический словарь юного математика.
4) Энциклопедический словарь юного химика.
5) В.Г.Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.
6) П.В.Ройтман “Повышение вычислительной культуры учащихся”.
7)
С.С.Минаева “Вычисления на уроках и внеклассных занятиях
по математике”.
План урока.
Организационный момент.
Постановка целей урока (в ходе актуализации знаний).
Введение нового материала.
Физкульминута.
Продолжение изучения нового материала.
Отработка основных теоретических вопросов по теме. Решение задач.
Постановка домашнего задания.
Заключительный этап.
Ход урока:
Организационный момент.
Звучит эпиграф к уроку: «Знания – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».
(Абу – р – Райхан ал – Бируни, арабский математик X века). (слайд1)
Постановка целей урока.
Организуется опрос:
- Что такое арифметическое среднее?
- Среднем арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
- Чему равно среднее арифметическое чисел 2 и 8? - 5.
- Что такое геометрическое среднее?
-Средним геометрическим n положительных чисел называется корень n-ой степени из произведения этих чисел.
- Чему равно среднее геометрическое чисел 2 и 8 ? - 4.
III. Введение нового материала. 1) Работа по слайду.
- Внимательно посмотрите на экран и ответьте. Что мы видем? - На слайде мы видем изображения животных. (слайд2)
- Как расположенны изображения? - Поочереди, один за другим, последовательно.
- Правильно. Перед нами последовательность животных. Первым какое животное изображено? -Лошадь.
-Вторым? -Лев.
-Пятым? -Кролик.
-Животных дающих нам последовательность соответственно будем называть первый член, второй член, третий член и другие члены.
-Ещё какие последовательности можно составить? -Последовательности различной техники, разных ягод, птиц, растений, геометрических фигур, букв алфавита , чисел,... .
-На сегоднешнем уроке мы с вами рассмотрим последовательность чисел.
-На ваше внимание предлагается пять последовательностей. Чему равен первый член последовательности
? -2.
(слайд 3)
-
2;5;8;11;...
1;2;3;4;5;6;...
7;5;3;1;-1;-3;...
2;6;18;54;...
4;2;1;1/2;1/4;...
-Второй? -5
-Третий? -8.
-Пятый член чему равен? -14.
-Как нашли? -Прибавляя 3. Можно заметить, что каждый член получается прибавлением числа 3..
-А во второй последовательности сколько прибавили? -1.
-В третьей последовательности? -(-2).
-Скажите пожалуйста, чем является второй член для первого и третьего?
-Среднем арифметическим.
-Поэтому такие последовательности называются арифметической.
Арифметической прогрессией называют последовательность (аn) , у корой кадый член начиная со второго, больше предыдущего на постоянное число d.
(Учащимся предлагается повторить правило хором).
-Число d называют разностью арифметической прогрессии. (Показывается плакат “d” ).
-Как заданы 4-ый и 5-ый члены последовательности? Чему равен первый член первой последовательности? -2.
-Второй член? -6.
-Третий член? -18.
-Если продолжить эту последовательность, чему будет равен пятый член? -162.
-Как нашли?
-Каждый предыдущий член умножается на 3.
-Как находим каждый член в первой последовательности? -1/2.
-Чем является вторй член (относительно первогог и третьего) в четвёртой последовательности? -Средним гшеометрическим.
-Попробуем дать определение геометрической прогрессии . – Каждый член получается путём умножения на одно и тоже число. (Учитель вносит поправку).
Геометрической прогрессией называют последовательность (bn), у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число q 0.
(Учащимся предлагается повторить правило хором).
Число q называют знаменателем прогрессии. (Учитель показывает плакат “q”).
(слайд4)
-
-Чему равен следующий член арифметической и геометрической последовательностей? -10;13;16;19;... -27;81;243;...
-Молодцы. Способ задающий эти последовательности называется рекурентным (с латинского означает - вернутся назад). Действительно, чтобы найти любой член требуется предыдущий. (Учитель использует слайды 5,6)
а2=а1 +d
a3=a2 +d
a4=a3 +d
an=an-1 +d 1.
-
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+d +d=a1 +2d
a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
an=an-1+d=a1+(n-1)d 2.
Нельзя сказать, что рекурентный способ удобный,так как найти а100 член надо знать а99 член. Поэтому попробуем вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: an=a1+(n-1)d
(слайд7)
Рассморим способ задания 4-ой последовательности..( Используется слайд 8,9.)
b2=b1· q
b3=b2 ·q
b4=b3 ·q
- - - - - -
bn=bn-1 ·q 1a.
-
b2=b1 ·q
b3=b2 ·q=b1 ·q ·q=b1 ·q2
b4 =b3 ·q= b1 · q ·q· q=b1 ·q3
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
bn =bn-1 ·q= b1 ·qn-1 2а.
Как видем рекурентный способ для нахождения n-го члена не очень удобен. Значит, нам надо вывести формулу для n-го члена геометрической прогрессии.. (Используется слайды 8,9)
Формула n-го члена геометрической прогрессии : bn= b1·qn-1 (слайд10)
- С целью закрепления данных формул в тетрадях выполняются следующие задания (слайд 5). (Учащиеся в тетрадях записывают число, тему и выполняют задания)
1) Если а1=-2, d=3, найдите а10 . – 25.
2) Если b1=3, q=2, найдите b7 . – 192.
- Правильно. Пожалуйста, обратите внимание на последовательности. Что означают точки в конце последовательностей, иногда одна, а иногда три?
-Три точки означают, что у последовательности есть продолжение, а одна точка, что последовательность ограниченная.
- Правильно. Вот мы свами уведили, что последовательности бывают бесконечной и ограниченной. Как вы думаете, можно ли найти сумму всех членов этой прогрессии?
-Если прогрессии ограниченные, то для того чтобы найти сумму нужно сложить все члены. А если прогрессии бесконечные, то в этом случае невозможно.
- Хорошо. Я хочу привести пример. В жизни выдающегося немецского математика, физика, астронома Карла Фридриха Гаусса был один интересный случай. Когда ему было 9 лет, учитель проверяя тетради учащихся предложил им вычислить сумму всех натуральных чисел начиная от 1 до 40. Какое было удивление учителя, когда спустя минуту Гаусс сказал: “Я нашёл ответ”. Другие учащиеся долго не могли вычислить сумму. “Сумма равна 820” – сказал Гаусс. (Учитель показывает портрет К.Ф. Гаусса.)
(Учитель знакомит учащихся со способом Гаусса). (слайд 11)
S=1+ 2+ 3+ 4+.....+ 39+40
+
S=40+39+..................+1+ 2
2S=41+41+41+..........41+41
2S=41·40
S=(41·40)/2=820.
-Что принял во внимание Гаусс, чтобы вычислить сумму?
- Сумма первого и последнего членов равно сумме ворого и предпоследнего.
- Значит, Sn=(а1+аn)·n/2 Мы с вами вывели формулу для вычисления суммы первых n-членов арифметической прогрессии.. (слайд 12)
IV. Физкультминутка. Проводится гимнастика для глаз. Гимнастика для снятия напряжения глазных мускул.
-Смотрим все на доску. Нужно не поварачивая голову, в направлении указателя вести рисунок глазами. 1. Лежащая восьмёрка. 2. Вершина горы. (слайд 13)
1
. 2. 
V. Продолжение изучения нового материала. -Я хочу предложить на ваше внимание ещё одну жизненную ситуацию. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: “Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей. А ты мне в первый день за 100 000 рублей даёшь 1 коп., во второй день за 100 000 рублей – 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнём”.
Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 рублей. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создаётся проблемная ситуация. Кто выйграл? Кто проиграл?
-Купец выйграл, ... незнакомец выйграл.
- Какую последовательность можно составить? -1;2;4;8;16;32;64;.... всего тридцать членов.
- Это какая прогрессия? -Геометрическая прогрессия.
-Значит, нам найти сумму 30-ти членов геометрической прогрессии, где b1=1; q=2. Как найдём? -Нужна формула для вычисления первых n членов геометрической прогрессии?
- По древней индийской легенде правитель Шерам приглашает к себе Сету - человека, который придумал игру шахматы и говорит ему: «Я хочу за прекрасную игру возноградить тебя. Я очень богат, что спросишь, всё могу дать”. А Сета улыбаясь, говорит ему: ”Если , вы непротив, то на первую клетку шахматной доски положить 1-о зёрнышко пшеницы, на вторую - 2, третью - 4, четвёртую - 8, на каждую последующую клетку в 2- раза больше, чем на предыдущую” Правитель даёт своё согласие и даёт приказ: “Вычислить пшеницу причитающиюся Сете и отдать”. Проходит день, второй, третий, а пшеница не выдаётся. Вычисления проводятся день и ночь. Правитель выражается своё недовольствие. Наконец, спустя много времени они закончили свои вычисления, и были ошарашены тем , что у правителя нет столько пшеницы. Если быть точнее, то получим 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллиона 551 тысяч 615. Чтобы вместить столько пшеницы нужен амбар высотой 4 м, шириной 10 м, длина, которого в 2 раза больше расстояния от земли до солнца - 300000000 км. Значит, правитель не смог выполнить прсьбу Сеты. (Учитель с помощью доски выводит формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии для IqI>1 ).
Sn=(bn· q-b1)/(q-1) (1) S=b1(qn-1)/(q-1) (2) (слайд 14)
А теперь ответим на вопрос, который был поставлен раньше . Выясним кто выйграл, кто проиграл. (Учитель совместно с учащимися вычисляют, сумму 30- ти членов, и делают вывод: купец проиграл, бесплатный сыр бывает только в мышеловке.)
Отработка основных теоретических вопросов по теме.
Решение задач.- Ответы на вопросы. -На сегоднешнем уроке с какими новыми понятиями, определениями мы с вами познакомилисть? Какие формулы вывели? ( Учащиеся отвечают на воросы.)
-Познакомившись с жизненными ситуациями пришли к выводу, что нужно знать арифметические и геометрические прогрессии, Формулы для вычисления суммы первых n членов, как арифметической, так и геометрической прогрессий. А теперь выполним тест. Задание. “В один из дней в Англии в графстве Камберленд проходит сильный ураган. Ураган вырывает деревья с корнями. После урагана остаются одни овраги, в них люди находят чёрное вещество. Если правильно выполните, то получите название этого вещества. Что это?.
(Учащиеся выполняют тест, в случае если правильно, то получают слово “графит”, по нему даётся пояснение: “Графит – это минерал состоящий из углерода. Используют его в металлургии, в военной области (изготавляют графитовые бомбы), в изготовлении элеуктропроводников и в других областях. Залежи этого минерала есть на Урале, Украине, восточной Сибири, США, Мексики т.д.”)
Содержание теста. (слайд 15)
1 ) Которая из последоваиельностей является арифметической прогрессией?
а)1;5;9;15;... в)0;3;5;7;...
б)10;5;1;-5;... г)3;7;11;15;...
Которая из последоваиельностей является геометрической прогрессией?
о)0;5;10;... р) 2;4;8;...
п)1;3;6;... с)2;4;8;...
Найдите 5-ый член арифметической прогрессии 3;5;7;... .
а)11 в)10
б)13 г)12
Найдите 5-ый член геометрической прогрессии 1;2;4;... .
т)20 ф)16
у)18 х)22
5) Если первый член арифметической прогрессии равен а1=4, разность d=5 , то найдите сумму первых 7-и членов.
и)133 л)135
к)137 м)139
6) Если первый член геометрической прогрессии равен b1=2, произведение q=4 , то найдите сумму первых 5-и членов.
)785 т)682
к)644 у)256
Постановка домашнего задания. (слайд 16)
Прочитать §7,§8 ; все формулы записать в тетрадях.
1 группа - №380, №410.
2 группа – работа по индувидуальным карточкам.
Подготовить сообщение на тему: “Исторический материал о прогрессиях” (Камалиева А.)
VIII. Заключительный этап.Подведение итогов урока. Анализ деятельности учащихся на уроке,
выставление оценок за урок.
